teorema del factor y del residuo

5.5.1 Algoritmo de la división. Para cada polinomio  de grado mayor o igual a uno y para cada número , existe un polinomio único  de un grado menor que el de  y un número único R, tal que: . Al polinomio  se le denomina cociente,  en el divisor y R es el residuo. 5.5.2 Teorema del residuo. Si  es el residuo de dividir el polinomio  entre , entonces . Demostración. Como  por el algoritmo de la división, se tiene que si , . O sea, . Ejemplo 7. Hállese el residuo de dividir el polinomio  entre . Solución.  se puede escribir como , por tanto . . . O sea que el residuo es 2. 5.5.2 Teorema del factor. Si  es un cero del polinomio , entonces  es un factor de . Demostración. Si  es un cero de , . Pero por el algoritmo de la división . Como , . Por tanto,  y . Ejemplo 8. Use el teorema del factor para probar que  es un factor de . Solución. , así . . Luego –1 es un cero de . Así  es un factor de . 5.5.3 Teorema de los n ceros. Todo polinomio de grado  con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales. Por tanto, tiene exactamente n ceros, no necesariamente distintos. Ejemplo 9. Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de , escríbase  como un producto de factores lineales. Solución. Como –2 es un cero de multiplicidad 2, se tiene que, . . . . Al usar la formula cuadrática, se hallan los ceros de  que son , . Así,  escrito como el producto de factores lineales es,             . 5.5.4 Teorema de los ceros complejos. Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados. Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos un cero real. Ejemplo 10. Si  es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de las siguientes afirmaciones es falsa:             a.  tiene al menos un cero real.             b.  tiene tres ceros.             c.  puede tener dos ceros reales y uno complejo. Solución. La afirmación c. es falsa dado que los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales deben presentarse en pares conjugados. Si  tienen dos ceros reales, entonces el tercer cero debe ser también real. 5.5.5 Regla de los signos de descartes. Dado un polinomio  con coeficientes reales, entonces: El número de ceros reales positivos de  nunca esa mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par . El número de ceros reales negativos de  nunca es mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par. Se va a entender que, en un polinomio con coeficientes reales ordenado en forma decreciente, ocurre una variación en el signo si dos términos sucesivos tiene signos opuestos. Los términos no existentes, o sea los términos con coeficientes cero, se ignoran. Ejemplo 11. En , hay 3 variaciones en el signo, por tanto existen 3 ó 1 raíces reales positivas. . . En  hay una variación en el signo, por tanto existe una raíz real negativa.