Definición: Si
P(x) y Q(x) son polinomios,
la función de la forma:
se llama una función racional, donde Q(x) es diferente
de cero.
Ejemplos:
El
dominio de
las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales
tal que
el denominador sea diferente
de cero.
Ejemplo
para discusión: ¿Cuál es el dominio de cada una de las
siguientes funciones?
Teorema: Sea f una función racional
definida de la forma:
donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta
x = a es una asíntota vertical
de la gráfica de y = f(x).
Ejemplos
para discusión: Halla las asíntotas verticales
para cada de las siguientes funciones:
Teorema: Sea f una función racional
definida por el cociente de dos polinomios,
entonces:
1)
Para m < n,
la recta y = 0 (el eje x) es una
asíntota horizontal.
2)
Para m = n, la recta y = am/bn,
es una asíntota horizontal.
3)
Para m > n,
no hay asíntotas horizontales.
Ejemplos
para discusión: Halla las asíntotas horizontales
para cada una de las siguientes
funciones:
Gráfica
de funciones racionales
Ahora utilizaremos las
técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales.
Ejemplos
para discusión: Dibuja la gráfica de:
Ejercicio
de práctica: Halla las asíntotas
verticales y horizontales para cada una
de las siguientes funciones. Dibuja la gráfica.
Teorema: Si
f es una función definida de la forma:
donde P(x) y Q(x) son polinomios
y el grado de P(x) es 1 más que el grado
de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:
donde el grado de r(x) es menor que
el grado de Q(x).
La recta y = mx
+ b es una asíntota oblicua para la gráfica de f.
Ejemplo
para discusión: Halla las asíntotas verticales,
horizontales y oblicuas para:
Dibuja la gráfica.
Ejercicio
de práctica: Halla las asíntotas verticales,
horizontales y oblicuas para:
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