Función escalón
En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bienactivo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.
Definición [Función de Heaviside] | |
La función escalón unitario o función de Heaviside1.2 se define como Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general para . |
Trazar la gráfica de la función .
Solución
La función está dada por
y su gráfica se muestra en la figura 1.5
Cuando la función de Heaviside se multilplica por una función , definida para , ésta función se desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente ejemplo.
Ejemplo
Trazar la gráfica de la función .
Solución
La función está dada por
La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.Ejemplo
Use la función de Heaviside para reescribir la función
Solución
Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside
Observación: la función
se escribe usando la función de Heaviside como
Demostración
Usando la definición de transformada
En el primer teorema de traslación nos permitío calcular la transformada de una función al ser multiplicada por una función exponencial , el segundo teorema de traslación nos permitirá calcular la trasformada de una función que es multiplicada por una función escalón.Use la función de Heaviside para reescribir la función
Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside
Observación: la función
se escribe usando la función de Heaviside como
Teorema [Transformada de la función Heaviside] | |
La transformada de la función de Heaviside es |
Usando la definición de transformada
Teorema [Segundo teorema de traslación] | |
Si y , entonces Forma inversa del segundo teorema de traslación: |
Demostración
Usando la definición
Ejemplo
Calcule
Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar a
Calcular , donde
Solución:
Observe que la función puede reescribirse como
Calcule
Solución
Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar de forma adecuada el término
Corolario [Forma alternativa al segundo teorema de traslación] | |
Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en , entonces |
Demostración
Usando la definición
Ejemplo
Calcule
Solución
Usando la forma alternativa del segundo teorema de traslación
Los siguientes ejemplos muestran el uso del segundo teorema de traslación en su forma inversa.
Ejemplo
Calcule
Solución
En este caso y
con lo cual
Ejemplo
Calcule
Solución
Primero hallemos la descomposición en fraciones parciales
con lo cual
Ejemplo
Calcule
Solución
Como el discriminante de es negativo, no es factorizable en y debemos completar el cuadrado.
En este punto debemos usar el primer teorema de traslación para calcular cada una de las transformadas inversas de la siguiente forma:
y
Y de aquí
Ejemplo
Calcule
Solución
Este ejemplo combina los dos teoremas de traslación
Teorema [Multiplicación por .] | |
Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en, entonces |
Ejemplo
Calcule
Solución
Aplicando el teorema anterior para , tenemos que
El siguiente ejemplo muestra una combinación del primer teorema de traslación y el teorema anterior.
Ejemplo
Calcule
Solución
Primero aplicamos el teorema de multiplicación por y luego el de traslación
Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral
Solución
Por el teorema de multiplicación por , tenemos que
De donde obtenemos que
y tomando
Existe un caso especial del teorema anterior, cuando , que es muy útil en el cálculo de transformadas inversas.
Corolario [Multiplicación por .] | |
Si , entonces |
Ejemplo
Calcule
Solución
Si
por el corolario tenemos que
Teorema [División por .] | |
Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en tal que el límite existe, entonces |
Demostración
Sea
entonces aplicando transformada de Laplace a ambos lados tenemos que
Integrando
es decir,
Observación: la constante de integración debe escogerse de forma de tal que.
El siguiente ejemplo muestra una aplicación de este teorema.
Ejemplo
Calcule
Solución
Tenemos que
con lo cual
Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral
Solución
Si
entonces
De donde
y tomando el límite cuando , tenemos que
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